Da concepção da sequência didática à análise dos processos de aprendizagem

Introdução

Ensinar Matemática vai muito além de apresentar fórmulas, procedimentos e algoritmos para que os estudantes possam chegar a determinado resultado. A aprendizagem matemática envolve a construção de significados, a elaboração de estratégias, a capacidade de argumentação, a resolução de problemas e a compreensão das relações existentes entre os diferentes conceitos matemáticos.

Nesse contexto, pensar em metodologias capazes de aproximar o conhecimento matemático da realidade dos estudantes tornou-se uma necessidade cada vez mais presente na Educação Matemática. O professor não pode ser compreendido apenas como aquele que transmite conhecimentos prontos, mas também como um profissional que observa, investiga, planeja, experimenta e avalia continuamente suas práticas pedagógicas.

É nesse cenário que a Engenharia Didática apresenta uma importante contribuição para a Educação Matemática. Trata-se de uma abordagem que permite articular conhecimentos teóricos e situações concretas de ensino, possibilitando ao pesquisador e ao professor elaborar, desenvolver, observar e analisar situações didáticas destinadas à aprendizagem de determinado conhecimento matemático.

Este artigo é uma versão revisada, atualizada e ampliada de um texto originalmente publicado pelo autor em 24 de fevereiro de 2017, sob o título Engenharia Didática em Educação Matemática. A proposta desta nova versão é retomar aquela reflexão e ampliá-la à luz das necessidades contemporâneas do ensino e da pesquisa em Educação Matemática.

1. O que é Engenharia Didática?

A Engenharia Didática constitui uma metodologia de pesquisa desenvolvida no campo da Didática da Matemática, especialmente associada à tradição francesa de investigação sobre os processos de ensino e aprendizagem.

A denominação está relacionada à comparação entre o trabalho do pesquisador e o trabalho de um engenheiro. Assim como o engenheiro desenvolve um projeto apoiando-se em conhecimentos científicos e precisa considerar as condições concretas nas quais seu projeto será realizado, o pesquisador em Educação Matemática também trabalha com conhecimentos teóricos, mas precisa lidar com a complexidade própria das situações reais de sala de aula.

A Engenharia Didática não se limita, portanto, à elaboração de uma atividade para os estudantes. Ela envolve um processo sistemático de concepção, planejamento, experimentação, observação e análise.

Seu objeto de investigação pode ser determinado conhecimento matemático, permitindo estudar como os estudantes compreendem esse conhecimento, quais dificuldades apresentam, quais estratégias desenvolvem e de que maneira determinadas situações didáticas podem favorecer a aprendizagem.

A Engenharia Didática pode, assim, ser compreendida como uma metodologia que aproxima a investigação científica da realidade da sala de aula.

2. A contribuição de Michèle Artigue

Entre os principais nomes relacionados ao desenvolvimento e à sistematização da Engenharia Didática encontra-se a pesquisadora francesa Michèle Artigue.

A partir da década de 1980, a noção de Engenharia Didática ganhou espaço no campo da Didática da Matemática como uma forma de investigação que possibilita ao pesquisador conceber e analisar situações didáticas em condições reais de ensino.

A contribuição de Artigue foi fundamental para a compreensão da Engenharia Didática como uma metodologia de pesquisa caracterizada pela articulação entre diferentes momentos: análise das condições iniciais, elaboração do dispositivo didático, experimentação e análise dos resultados obtidos.

Essa perspectiva permite compreender que a sala de aula não é apenas o local onde uma teoria é aplicada. Ela também constitui um espaço de investigação e produção de conhecimento sobre os processos de aprendizagem.

3. Engenharia Didática como metodologia de pesquisa

Uma das características fundamentais da Engenharia Didática é seu caráter experimental.

O pesquisador elabora uma sequência de ensino ou um conjunto de situações didáticas fundamentadas teoricamente e posteriormente realiza sua experimentação com determinado grupo de estudantes.

Durante esse processo, são observados elementos como:

• as estratégias utilizadas pelos estudantes;
• os erros cometidos;
• as dificuldades encontradas;
• as formas de argumentação;
• as interações entre professor e alunos;
• as interações entre os próprios estudantes;
• as diferentes formas de resolução de um problema;
• os conhecimentos mobilizados durante as atividades.

Os dados obtidos durante a experimentação podem ser analisados posteriormente e comparados com aquilo que havia sido previsto durante o planejamento.

Essa característica diferencia a Engenharia Didática de uma simples sequência de exercícios.

Uma atividade didática pode ser aplicada em sala de aula sem necessariamente constituir uma pesquisa. Na Engenharia Didática, entretanto, existe uma intenção investigativa claramente estabelecida.

4. As principais fases da Engenharia Didática

A Engenharia Didática é tradicionalmente estruturada em diferentes fases articuladas entre si.

De maneira geral, podemos destacar quatro momentos fundamentais:

1. análises preliminares;
2. análise a priori;
3. experimentação;
4. análise a posteriori e validação.

Essas fases não devem ser entendidas como etapas absolutamente isoladas. Existe uma relação dinâmica entre elas, pois os resultados encontrados durante a experimentação podem levar o pesquisador a retomar aspectos anteriormente planejados.

4.1 Análises preliminares

As análises preliminares constituem o momento em que o pesquisador procura compreender profundamente o objeto matemático que será trabalhado.

Nesse momento, podem ser considerados diferentes aspectos.

Análise epistemológica

É necessário compreender o conhecimento matemático que será objeto da investigação.

O pesquisador precisa conhecer sua estrutura, seu desenvolvimento histórico, suas diferentes representações e as relações que estabelece com outros conceitos.

Análise do ensino existente

Também é importante investigar como determinado conteúdo costuma ser ensinado.

Quais procedimentos são tradicionalmente utilizados?

Quais dificuldades aparecem com frequência?

Quais resultados são obtidos?

Essas questões ajudam o pesquisador a identificar possíveis limitações das práticas existentes.

Análise das concepções dos estudantes

Outro aspecto importante consiste em conhecer aquilo que os estudantes já sabem ou acreditam saber sobre determinado conceito.

Os estudantes não chegam à sala de aula sem conhecimentos prévios. Eles possuem experiências, concepções, estratégias e explicações próprias.

Algumas dessas concepções podem favorecer a aprendizagem; outras podem constituir obstáculos.

Análise das condições didáticas

Também é necessário considerar as condições concretas nas quais a pesquisa será desenvolvida.

Entre elas podem estar:

• características da turma;
• conhecimentos prévios dos estudantes;
• tempo disponível;
• recursos didáticos;
• espaço escolar;
• tecnologias utilizadas;
• organização das atividades;
• objetivos de aprendizagem.

As análises preliminares fornecem, portanto, a base necessária para a construção do dispositivo didático.

5. A análise a priori

Depois das análises preliminares, o pesquisador passa à elaboração das situações didáticas.

Nesse momento, procura antecipar aquilo que poderá ocorrer durante a experimentação.

A análise a priori permite levantar hipóteses sobre:

• possíveis estratégias dos estudantes;
• dificuldades esperadas;
• erros que podem aparecer;
• conhecimentos que poderão ser mobilizados;
• respostas possíveis;
• intervenções do professor;
• efeitos esperados das atividades.

É importante destacar que a análise a priori não significa prever exatamente tudo aquilo que acontecerá em sala de aula.

A sala de aula é um espaço complexo e dinâmico.

O objetivo é estabelecer uma análise fundamentada das possibilidades didáticas da situação que será experimentada.

6. A experimentação

A experimentação corresponde ao momento em que o dispositivo didático elaborado pelo pesquisador é efetivamente colocado em prática.

É nessa fase que aquilo que foi planejado encontra a realidade da sala de aula.

Durante a experimentação, podem ser coletados diferentes tipos de dados, tais como:

• registros das atividades;
• produções escritas dos estudantes;
• respostas aos problemas;
• questionários;
• entrevistas;
• observações;
• gravações, quando autorizadas;
• registros do professor;
• discussões realizadas em sala.

A experimentação também pode exigir adaptações.

Quando uma situação planejada não produz o efeito esperado, o professor-pesquisador pode perceber a necessidade de realizar ajustes.

Isso não significa necessariamente que a pesquisa tenha fracassado. Pelo contrário: a própria identificação das dificuldades pode constituir elemento importante para compreender o processo de aprendizagem.

7. A análise a posteriori

Após a experimentação, inicia-se a análise dos dados obtidos.

O pesquisador procura compreender aquilo que efetivamente ocorreu durante o desenvolvimento das situações didáticas.

Nesse momento, podem ser analisadas as respostas dos estudantes, suas estratégias, seus erros, suas dificuldades e seus avanços.

Uma das características importantes dessa etapa é a possibilidade de estabelecer uma relação entre aquilo que havia sido previsto na análise a priori e aquilo que ocorreu efetivamente durante a experimentação.

Essa comparação contribui para a compreensão da eficácia, das limitações e das possibilidades da sequência didática desenvolvida.

8. A validação

A validação constitui outro elemento importante da Engenharia Didática.

De modo geral, ela está relacionada à confrontação entre as análises realizadas antes da experimentação e aquelas desenvolvidas após a experimentação.

O pesquisador pode perguntar:

O que foi previsto aconteceu?

Quais estratégias apareceram?

Quais dificuldades não haviam sido antecipadas?

Quais situações favoreceram a aprendizagem?

Quais precisam ser modificadas?

Essa confrontação permite produzir uma compreensão mais consistente sobre a situação didática investigada.

9. Engenharia Didática e sequência didática

Engenharia Didática e sequência didática são conceitos relacionados, mas não são sinônimos.

A sequência didática corresponde à organização planejada de atividades e situações de aprendizagem em uma determinada ordem, com objetivos definidos.

Já a Engenharia Didática, quando utilizada como metodologia de pesquisa, envolve um processo mais amplo de investigação, incluindo análises preliminares, planejamento, experimentação, coleta de dados, análise e validação.

Uma sequência didática pode, portanto, constituir parte fundamental de uma pesquisa baseada na Engenharia Didática.

O professor pode elaborar atividades progressivas, partindo dos conhecimentos prévios dos estudantes e avançando para situações que provoquem novas reflexões.

10. Um exemplo: ensinando equações de primeiro grau

Para compreender melhor essa perspectiva, podemos considerar a equação:

2x + 4 = 8

Em uma abordagem exclusivamente procedimental, o professor poderia apresentar diretamente o algoritmo:

2x = 8 − 4

2x = 4

x = 4 ÷ 2

x = 2

O procedimento está matematicamente correto.

Entretanto, compreender Matemática exige mais do que chegar ao resultado.

Uma abordagem didática investigativa pode começar perguntando:

O que representa o x?

O que significa 2x?

Por que podemos subtrair 4 dos dois lados da igualdade?

Por que precisamos dividir por 2?

Como podemos verificar o resultado?

O professor pode utilizar situações contextualizadas, objetos, representações gráficas ou problemas cotidianos para que o estudante compreenda que o símbolo algébrico representa uma quantidade desconhecida.

Depois da resolução, o resultado pode ser verificado:

2 × 2 + 4 = 8

Logo:

4 + 4 = 8

e, portanto, a solução é:

x = 2.

O mais importante, entretanto, não é apenas encontrar o número 2.

É compreender por que 2 é a solução.

Essa diferença é fundamental para um ensino de Matemática que pretende superar a aprendizagem meramente mecânica.

11. O erro como elemento de investigação

Na perspectiva da Educação Matemática, o erro do estudante não precisa ser compreendido apenas como algo que deve ser eliminado.

Ele também pode fornecer informações importantes sobre o processo de construção do conhecimento.

Quando um estudante resolve uma questão de maneira incorreta, é possível investigar:

• qual raciocínio foi utilizado;
• qual conceito foi compreendido parcialmente;
• qual relação matemática foi estabelecida;
• qual conhecimento anterior foi mobilizado;
• qual obstáculo pode estar interferindo na aprendizagem.

Assim, o erro pode tornar-se uma fonte de informação para o professor-pesquisador.

Em vez de simplesmente informar que a resposta está errada, o professor pode investigar como o estudante chegou àquela resposta.

Essa mudança de perspectiva contribui para uma prática pedagógica mais reflexiva.

12. O professor como professor-pesquisador

A Engenharia Didática também contribui para fortalecer a concepção do professor como profissional reflexivo.

O professor está diariamente diante de situações complexas.

Uma determinada atividade pode funcionar muito bem com uma turma e não produzir os mesmos resultados com outra.

Uma explicação aparentemente simples para o professor pode ser extremamente complexa para determinado estudante.

Por isso, observar a sala de aula, registrar dificuldades, analisar produções e reformular estratégias constituem ações importantes para o desenvolvimento profissional docente.

O professor-pesquisador não é aquele que simplesmente aplica uma metodologia pronta.

É aquele que procura compreender sua própria prática.

Ele pergunta:

Por que meus estudantes não compreenderam determinado conceito?

Qual obstáculo apareceu?

Que estratégia poderia ser utilizada?

Como posso reorganizar a situação de aprendizagem?

Essas perguntas transformam a prática pedagógica em um processo contínuo de investigação.

13. Engenharia Didática e aprendizagem significativa

Um dos grandes desafios do ensino de Matemática consiste em fazer com que os estudantes compreendam o significado dos conceitos que estão estudando.

É possível realizar operações matemáticas corretamente sem compreender plenamente aquilo que elas representam.

Um estudante pode memorizar uma fórmula, resolver uma equação ou aplicar um algoritmo e, ainda assim, apresentar dificuldades quando o mesmo conhecimento aparece em uma situação diferente.

Por essa razão, o ensino precisa criar oportunidades para que os estudantes estabeleçam relações entre diferentes representações e situações.

Um conceito matemático pode ser apresentado por meio de:

• linguagem natural;
• símbolos;
• gráficos;
• tabelas;
• figuras;
• problemas;
• situações do cotidiano;
• recursos tecnológicos;
• materiais manipuláveis.

Quanto mais possibilidades de representação forem oferecidas, maiores podem ser as oportunidades de construção de significado.

14. A tecnologia e a Engenharia Didática no ensino contemporâneo

A Educação Matemática contemporânea também apresenta novos desafios relacionados ao uso das tecnologias digitais.

Softwares de geometria dinâmica, calculadoras, planilhas eletrônicas, ambientes virtuais de aprendizagem, simuladores e ferramentas digitais podem ser incorporados às situações didáticas.

Entretanto, utilizar tecnologia não significa automaticamente produzir uma aprendizagem melhor.

A questão fundamental continua sendo:

Qual função pedagógica essa tecnologia desempenha na situação de aprendizagem?

A tecnologia deve contribuir para que o estudante observe, formule hipóteses, teste possibilidades, represente conceitos, compare resultados e desenvolva argumentos.

Nesse sentido, a Engenharia Didática pode auxiliar o professor a planejar o uso consciente desses recursos.

15. Engenharia Didática, resolução de problemas e investigação matemática

A resolução de problemas ocupa lugar importante na Educação Matemática porque permite colocar o estudante diante de situações nas quais ele precisa mobilizar conhecimentos para encontrar estratégias de solução.

Em uma perspectiva investigativa, o problema não precisa ser apresentado apenas depois que o conteúdo foi explicado.

Ele também pode ser utilizado como ponto de partida.

O estudante pode ser convidado a:

1. compreender a situação;
2. identificar informações relevantes;
3. formular hipóteses;
4. testar estratégias;
5. comparar soluções;
6. justificar seus procedimentos;
7. verificar os resultados;
8. construir novos conhecimentos.

Nesse processo, diferentes estudantes podem encontrar diferentes caminhos para resolver uma mesma situação.

Essa possibilidade é especialmente relevante para o ensino de Matemática, pois mostra que compreender um problema não significa necessariamente seguir um único procedimento.

16. Por que utilizar a Engenharia Didática em Matemática?

A Engenharia Didática oferece ao professor e ao pesquisador uma possibilidade de aproximar teoria, prática e investigação.

Por meio dela, torna-se possível desenvolver situações didáticas planejadas a partir de conhecimentos científicos e, simultaneamente, analisar o que acontece quando essas situações são colocadas em prática.

Entre suas contribuições, podemos destacar:

• planejamento mais fundamentado das situações de aprendizagem;
• investigação das dificuldades dos estudantes;
• análise das estratégias utilizadas;
• valorização dos conhecimentos prévios;
• compreensão dos erros como fonte de informação;
• reflexão sobre a prática docente;
• avaliação das situações didáticas;
• possibilidade de reformulação das atividades;
• aproximação entre pesquisa e sala de aula.

Dessa maneira, a Engenharia Didática pode contribuir para um ensino de Matemática menos centrado na memorização e mais voltado para a compreensão.

17. A importância da reflexão docente

O professor de Matemática precisa estar disposto a analisar continuamente sua prática.

Não existe uma única metodologia capaz de resolver todos os problemas encontrados no ensino.

Cada turma possui características próprias.

Cada estudante apresenta uma trajetória de aprendizagem.

Cada conceito matemático possui suas especificidades.

Por isso, o planejamento precisa estar associado à observação e à reflexão.

A Engenharia Didática oferece justamente uma possibilidade de organizar essa reflexão de maneira sistemática.

O professor planeja, experimenta, observa, analisa e, quando necessário, reorganiza sua intervenção.

Nesse sentido, ensinar também significa aprender sobre o próprio processo de ensinar.

Considerações finais

A Engenharia Didática ocupa um lugar relevante no campo da Educação Matemática por possibilitar a articulação entre conhecimentos teóricos e situações concretas de ensino.

Mais do que uma forma de organizar atividades, ela representa uma possibilidade metodológica para investigar os processos de ensino e aprendizagem de conhecimentos matemáticos.

Sua estrutura, baseada nas análises preliminares, na análise a priori, na experimentação e na análise a posteriori articulada à validação, permite ao pesquisador investigar de maneira sistemática aquilo que acontece durante o desenvolvimento de uma situação didática.

Para o professor de Matemática, essa perspectiva também oferece uma importante oportunidade de reflexão sobre sua prática.

Ensinar Matemática não deve significar apenas fazer com que o estudante encontre respostas corretas. É necessário ajudá-lo a compreender conceitos, estabelecer relações, formular estratégias, argumentar, interpretar resultados e perceber a presença da Matemática em diferentes situações.

A experiência acumulada desde a publicação da primeira versão deste artigo, em 2017, reforça uma convicção que permanece atual: aprender Matemática é também construir significados.

Quando o estudante compreende aquilo que está fazendo, consegue explicar seu raciocínio e percebe diferentes caminhos para solucionar uma situação, a Matemática deixa de ser apenas um conjunto de regras e passa a constituir uma forma de interpretar e compreender o mundo.

A Engenharia Didática, nesse contexto, oferece ao professor-pesquisador uma possibilidade de construir situações de aprendizagem, observar seus efeitos e refletir sobre os caminhos necessários para favorecer uma Educação Matemática mais significativa.

Referências

ARTIGUE, Michèle. Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, La Pensée Sauvage.

ARTIGUE, Michèle. Engenharia Didática. In: BRUN, Jean (org.). Didática das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget.

BROUSSEAU, Guy. Theory of Didactical Situations in Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

CHEVALLARD, Yves. La transposition didactique: du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble: La Pensée Sauvage.

ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed.

Autor: Valdivino Alves de Sousa
Área: Educação Matemática